Авторы |
Журавлев Виктор Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Ульяновский государственный университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42), zhvictorm@gmail.com
Морозов Виталий Михайлович студент, Ульяновский государственный университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42), aieler@rambler.ru
|
Аннотация |
Актуальность и цели. Разработка методов построения точных решений квантовых уравнений является одной из важных технических задач в области квантовой физики. Точные решения дают возможность не только проводить анализ систем во всех тонкостях, но служат основой для большого числа уже приближенных систем в качестве нулевого приближения. С современной точ- ки зрения особый интерес представляют квантовые системы в размерности пространства 2 и 3, для которых имеется не так много методов построения точных решений. Поэтому отыскание подходов, которые позволяют проанализировать не одну конкретную систему, а несколько систем, пользуясь одной и той же процедурой построения решений, является актуальной задачей. Целью настоящей работы является построение новых точных решений двумерных квантовых систем, обладающих специальными свойствами симметрии, которые можно в дальнейшем использовать в качестве основы для анализа квантовых систем в теории наноматериалов.
Материалы и методы. В работе для построения точных решений уравнений двумерных квантовых систем используется метод конформных отображений двумерного координатного пространства в себя. Двумерное координатное пространство представляется комплексной плоскостью. С помощью конформных отображений комплексной плоскости решается несколько задач о динамике классической квантовой частицы без спина в двумерных потенциальных ямах. Конформные отображения связывают точно решаемые квантовые задачи такие, как двумерный гармонический осциллятор с квантовыми задачами о движении частиц в каналах. В работе приводится анализ применения двух основных типов конформных отображений, позволяющих строить полное решение новой квантовой задачи на основе решения известной задачи, например такой, как квантовый двумерный осциллятор. При построении точных решений квантовых уравнений метод конформных отображений сочетается с методом преобразований Дарбу, что расширяет класс систем, для которых удается построить точные решения.
Результаты. В результате использование конформных отображений расширяет список методов, с помощью которых удается получить точные решения новых квантовых задач, которые могут служить моделями для некоторых реальных квантовых систем. Построенные с помощью конформных отображений системы дают примеры квантовых систем, в которых волновая функция частицы строится одновременно во всем пространстве, хотя потенциальная энергия такова, что частица может находиться лишь в одной из областей пространства, которые отделены друг от друга непроницаемыми потенциальными барьерами. В работе приводятся примеры таких систем и анализируются некоторые их основные свойства. Этот результат имеет отношение к проблеме Ааронова – Бома.
Выводы. Метод конформных отображений может с успехом использоваться в качестве одного из методов построения решений квантовых систем с помощью переноса известных результатов относительно одних квантовых си-стем на другие. Полученные результаты могут быть использованы для анализа реальных квантовых систем в качестве нулевого приближения.
|
Список литературы |
1. Bargmann, V. Determination of a central field of force form the elastic scattering phase shifts / V. Bargmann // Phys. Rev. – 1949. – Vol. 75. – Р. 301–303.
2. Захарьев, Б. Н. Послушная квантовая механика: новый статус теории в подходе обратной задачи / Б. Н. Захарьев, В. М. Чабанов. – М. : Регулярная и хаотическая динамика, 2003. – 300 с.
3. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. – М. : Физматгиз, 1958. – 679 с.
4. Aharonov, V. / Aharonov V., Bohm D. // Phys. Rev. – 1959. – Vol. 115. – P. 485–491.
5. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции : пер. с англ. ; в 3-х т. / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. – М. : Наука, 1966. – Т. 2. – 396 с.
|